Recommended Free Tools
Metode pengali Lagrange membantu menemukan kandidat maksimum atau minimum ketika suatu fungsi harus memenuhi kendala persamaan. Untuk satu kendala halus, selesaikan ∇f = λ∇g bersama g = 0, lalu bandingkan nilai fungsi pada semua kandidat dan periksa batas domain yang relevan. Jika kendalanya berupa pertidaksamaan, gunakan kerangka kondisi KKT—bukan resep persamaan Lagrange saja.
Apa itu metode pengali Lagrange?
Optimisasi terkendala berarti mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan hanya di antara titik-titik yang memenuhi syarat tertentu. Dalam masalah keuangan, fungsi tujuan dapat mewakili keuntungan atau biaya, sedangkan kendala dapat mewakili anggaran atau sumber daya yang terbatas. Secara matematis, fungsi tujuan ditulis sebagai f, dan kendala persamaan ditulis sebagai g(x,y)=0.
Geometri menjelaskan mengapa metode ini bekerja. Bayangkan kurva kendala g(x,y)=0 dan kurva-kurva tingkat fungsi tujuan, masing-masing berupa himpunan titik dengan nilai f yang sama. Di titik ekstrem yang memenuhi kendala dan cukup halus, kurva tingkat fungsi tujuan menyinggung kurva kendala. Gradien tegak lurus terhadap kurva tingkatnya; karena itu, pada kasus satu kendala, kedua gradien sejajar:
∇f = λ∇g
Di sini, λ adalah pengali Lagrange. Untuk satu kendala persamaan yang dapat diturunkan, teorema mensyaratkan ∇g ≠ 0 pada titik kandidat. Jika gradien kendala nol, kesimpulan teorema tersebut tidak berlaku otomatis.
Quick wins for a faster PC:
Fix the driver behind crashes, sound loss and screen glitchesFind Drivers →Repair Windows errors before they cause bigger problemsFix Now →#1 Best Overall
Penjelasan tangensi dan rumusan teorema satu-kendala dibahas dalam bagian 4.8 OpenStax Calculus Volume 3 dan uraian geometri dari University of Nebraska–Lincoln.
Bagaimana menggunakan pengali Lagrange?
- Tentukan tujuan dan kendala. Tulis fungsi yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan sebagai f. Nyatakan setiap kendala persamaan sebagai fungsi yang sama dengan nol, misalnya g(x,y)=x+2y−7=0.
- Tulis sistem pengali. Untuk satu kendala, pecahkan ∇f=λ∇g bersamaan dengan g=0. Dalam dua variabel, ini menjadi fx=λgx, fy=λgy, dan g(x,y)=0.
- Cari semua solusi yang memenuhi sistem. Pertahankan persamaan kendala saat menyelesaikan; solusi persamaan gradien yang tidak memenuhi kendala bukan kandidat yang layak.
- Nilai fungsi tujuan pada kandidat. Hitung f di setiap kandidat yang layak dan bandingkan hasilnya jika mencari maksimum atau minimum global pada himpunan yang sesuai.
- Periksa bagian domain lainnya. Jika domain memiliki batas atau bagian interior yang juga mungkin memuat ekstrem, periksa kasus-kasus tersebut secara terpisah. Persamaan Lagrange menghasilkan kandidat, bukan bukti tunggal bahwa suatu kandidat adalah optimum global.
Contoh: minimalkan fungsi kuadrat pada garis
OpenStax menggunakan contoh meminimalkan f(x,y)=x²+y² dengan kendala x+2y=7. Tulis kendala sebagai g(x,y)=x+2y−7=0. Karena ∇f=(2x,2y) dan ∇g=(1,2), sistemnya adalah:
Rank #2
- 2x=λ
- 2y=2λ
- x+2y=7
Dua persamaan gradien memberi x=λ dan y=λ, sehingga x=y. Substitusi ke kendala menghasilkan 3x=7, jadi kandidatnya (7/3, 7/3). Nilai fungsi di titik itu adalah 98/9. Untuk menetapkan ekstrem global, hasil ini perlu dipertimbangkan bersama bentuk dan cakupan himpunan layak; pada contoh ini, garis kendala tidak dibatasi dan fungsi kuadrat terus membesar menjauhi titik tersebut, sehingga kandidat itu merupakan minimum pada garis, bukan maksimum.
Contoh dan langkah penyusunan sistem ini bersumber dari OpenStax Calculus Volume 3, bagian 4.8.
Rank #3
Kapan pemeriksaan batas dan titik interior diperlukan?
Sistem pengali mencari titik ekstrem yang memenuhi kendala halus dan syarat teorema. Ia tidak otomatis mencakup setiap kemungkinan dalam masalah dengan domain terbatas atau kendala tambahan. Pada wilayah tertutup dan terbatas, misalnya, nilai ekstrem dapat muncul di batas wilayah; titik interior juga perlu diperiksa bila relevan. Evaluasi semua kandidat pada bagian domain yang berlaku, lalu bandingkan nilai fungsi tujuan. Uraian pemeriksaan kandidat dan titik interior tersedia dari University of Nebraska–Lincoln.
Apa yang berubah jika kendalanya berupa pertidaksamaan?
Kendala seperti batas anggaran biasanya berupa pertidaksamaan, bukan persamaan. Untuk kasus tersebut, gunakan kondisi Karush–Kuhn–Tucker (KKT). Dengan konvensi kendala hj(x)≤0 dan pengali pertidaksamaan μj≥0, bentuk umum untuk minimisasi dengan kendala persamaan gi(x)=0 memakai Lagrangian:
L(x,λ,μ)=f(x)+Σiλigi(x)+Σjμjhj(x)
Dalam rumusan ini, kondisi yang perlu diperiksa adalah:
- Kelayakan primal: titik memenuhi semua kendala persamaan dan pertidaksamaan.
- Stationaritas: gradien Lagrangian terhadap variabel keputusan bernilai nol.
- Kelayakan dual: pengali untuk kendala hj≤0 tidak negatif.
- Slackness komplementer: untuk setiap kendala, μjhj(x)=0. Kendala yang tidak aktif memiliki pengali nol; kendala dengan pengali positif harus aktif.
Tanda pengali bergantung pada cara pertidaksamaan ditulis dan apakah masalahnya minimisasi atau maksimisasi. Konvensi di atas khusus untuk minimisasi dengan kendala h≤0; jangan mencampur tanda dari konvensi berbeda.
Free tools Windows power users keep installed
One-click scans. No signup required.
Kondisi KKT bukan otomatis syarat perlu untuk setiap masalah. Keperluannya bergantung pada asumsi keteraturan kendala. Dalam masalah konveks, kondisi KKT yang sesuai dapat pula membantu memastikan optimalitas, tetapi hal itu bergantung pada hipotesis masalahnya. Catatan kuliah MIT OpenCourseWare tentang pengali Lagrange dan KKT membahas kerangka tersebut; catatan itu menyatakan belum melalui penelaahan formal sejawat.
Independent reader supportYour contribution helps us test, update, and keep practical guides available for everyone.Bagaimana Lagrange, KKT, dan metode numerik berbeda?
| Metode | Jenis kendala | Kondisi utama | Makna dan batasan |
|---|---|---|---|
| Persamaan pengali Lagrange | Kendala persamaan halus | Gradien tujuan merupakan kelipatan atau kombinasi linear gradien kendala, disertai kelayakan | Menghasilkan kandidat; periksa asumsi, nilai tujuan, dan batas yang relevan. |
| Kondisi KKT | Kendala persamaan dan pertidaksamaan | Kelayakan, stationaritas, tanda pengali pertidaksamaan, dan slackness komplementer | Syarat perlu bergantung pada keteraturan; kecukupan untuk optimalitas memerlukan struktur tambahan seperti konveksitas. |
| Metode numerik lain | Program nonlinear yang lebih besar | Beragam, bergantung pada metode | Materi MIT mencakup dualitas, metode titik interior, dan Lagrangian augmented; sumber ini tidak membandingkan kinerja atau merekomendasikan pemecah tertentu. |
Untuk beberapa kendala persamaan, gradien fungsi tujuan berada dalam rentang linear gradien kendala jika syarat keteraturan yang relevan terpenuhi. Ini adalah perluasan dari gagasan gradien sejajar pada satu kendala, bukan alasan untuk mengabaikan pemeriksaan kelayakan atau kandidat lain. Cakupan materi nonlinear programming tersebut tercantum dalam indeks catatan kuliah MIT.
Quick Recap
Product prices and availability are accurate as of the date/time indicated and are subject to change. Any price and availability information displayed on Amazon at the time of purchase will apply.
