La méthode du simplexe est un algorithme de programmation linéaire : elle cherche une solution qui maximise ou minimise un objectif linéaire tout en respectant des contraintes linéaires. Elle est utile pour des décisions de planification et d’affectation de ressources lorsque la situation peut être représentée par ce type de modèle.
Qu’est-ce que la méthode du simplexe ?
Un programme linéaire décrit un problème à l’aide de variables de décision, d’un objectif à optimiser et de contraintes qui délimitent les solutions possibles. Ces relations doivent être linéaires : par exemple, une quantité peut contribuer proportionnellement à l’objectif ou consommer une quantité fixe de ressource par unité.
Une solution est dite admissible si elle respecte toutes les contraintes et les bornes des variables. Parmi les solutions admissibles, une solution optimale donne la meilleure valeur de l’objectif. La méthode du simplexe permet de rechercher cet optimum. Le manuel de calcul d’optimisation de Cornell présente l’algorithme du simplexe.
Comment fonctionne le simplexe ?
Les contraintes d’un programme linéaire définissent une région admissible. Géométriquement, le simplexe examine des points extrêmes — les sommets de cette région — et progresse de sommet en sommet vers une meilleure valeur de l’objectif. Lorsque le programme linéaire admet un optimum, il existe un point extrême optimal, comme l’explique Cornell.
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Cette intuition décrit le principe général, pas une règle de pivot particulière : les détails du choix du prochain sommet relèvent de la mise en œuvre de l’algorithme. L’idée essentielle est qu’il n’est pas nécessaire d’examiner chaque point de la région admissible pour trouver un optimum.
Comment construire un modèle simplexe ?
- Définir les décisions. Choisissez une variable pour chaque quantité à déterminer, puis précisez ses unités et ses bornes. Les bornes peuvent notamment exprimer qu’une quantité ne peut pas être négative.
- Écrire l’objectif. Formulez ce que vous cherchez à maximiser ou à minimiser comme une expression linéaire des variables : par exemple, un total de production ou de coût.
- Traduire les limites en contraintes. Représentez les capacités, ressources disponibles ou demandes par des inégalités ou égalités linéaires.
- Vérifier la cohérence. Assurez-vous que les unités sont compatibles et que chaque relation reflète bien la situation réelle. Le résultat ne sera pertinent que si le modèle traduit correctement le problème.
Exemple pédagogique construit pour cet article
Supposons, à titre entièrement hypothétique, qu’un atelier fabrique des produits A et B. Chaque unité de A rapporte 3 unités monétaires et consomme 2 heures de travail; chaque unité de B rapporte 2 unités monétaires et consomme 1 heure. L’atelier dispose de 8 heures et ne peut fabriquer que 3 unités de B au maximum.
En notant x le nombre d’unités de A et y celui de B, on peut chercher à maximiser 3x + 2y, sous les contraintes 2x + y ≤ 8, y ≤ 3, x ≥ 0 et y ≥ 0. Une solution admissible respecte toutes ces limites. Le simplexe chercherait parmi les sommets de la région délimitée par ces contraintes; il ne faut pas interpréter cet exemple comme une étude de cas réelle ni comme un résultat mesuré.
À quoi sert la méthode du simplexe ?
Le simplexe peut servir à résoudre des problèmes de planification, d’affectation de ressources ou d’ordonnancement, à condition qu’ils puissent être modélisés par un objectif et des contraintes linéaires. Le NIST décrit une application historique où Dantzig et ses collaborateurs ont formulé des problèmes de déploiement d’aéronefs en programmes linéaires, puis les ont résolus avec le simplexe sur l’ordinateur SEAC : Operations Research: Responding to National Needs.
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La fiche de l’ouvrage de George B. Dantzig, Linear Programming and Extensions, cite aussi la réduction de la congestion routière et l’optimisation de la planification des vols comme exemples d’applications abordées. Elle ne fournit pas de résultats chiffrés pour ces exemples : fiche de l’ouvrage à la librairie universitaire de Miami University.
Quelles sont les limites du simplexe ?
- Le modèle doit être linéaire. Si les relations essentielles comportent des effets non linéaires, un modèle simplexe ordinaire ne les représente pas fidèlement.
- La qualité dépend des hypothèses. Une solution optimale au modèle n’est pas automatiquement une bonne décision si les variables, contraintes ou données ne reflètent pas le problème réel.
- Il n’existe pas de méthode gagnante dans tous les cas. La structure du problème et les propriétés recherchées comptent dans le choix d’un algorithme; les sources ne permettent pas d’établir un seuil universel de taille ni un classement général de vitesse.
Simplexe ou méthode de points intérieurs ?
Le simplexe et les méthodes de points intérieurs sont deux approches distinctes pour traiter des problèmes d’optimisation, notamment en programmation linéaire. Le cours de méthodes d’optimisation du MIT les aborde séparément, et le NIST note que certaines instances se prêtent davantage au simplexe et d’autres aux méthodes intérieures. Ces sources ne désignent pas de vainqueur universel ni de seuil chiffré : le choix dépend du problème et de ce que l’on attend de sa solution.
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Pour approfondir la programmation linéaire, Linear Programming and Extensions de George B. Dantzig est une référence en anglais. La fiche de Miami University indique 656 pages et une parution le 23 août 1998; elle mentionne le simplexe, les inégalités linéaires et diverses applications. Consulter la fiche de l’ouvrage.
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